提到数学,人们往往立刻会联想到一些抽象的公式、定理、结论以及一大堆枯燥的数字、计算公式,“抽象几乎是数学的同义词”. 的确,数学是一门思维科学,数学思维越来越多地成为数学教育的一项重要研究内容. 近年来随着思维科学研究的深入,以及数学教育的发展,培养学生的创新意识,提高其创新能力,已经成为数学教育改革的主旋律,数学思维越来越成为数学教育的一个重要研究课题. 但是长期以来,我国的数学教材和数学教学过分强调逻辑思维,相对忽视了对学生数学形象思维能力的培养. 数学形象思维能力在科学发现和创造发明中发挥着重要的作用,因此在数学教学中应当重视数学形象思维能力的培养. 本文着重讨论形象思维在培养数学探究能力中的作用.
形象思维的分类
对数学中形象思维的“形象”,长期以来,人们的认识仅仅局限于几何图形,从而数学形象思维能力的培养也存在一定的局限性.事实上,数学形象包括很多类:
1. 直观形象
直观形象包括平面几何图形、立体几何图形、函数图象等,常用于研究具有直观特点的几何问题. 如画出文字语言所表示的图形,添加几何证明中的辅助线,把实际问题数学化为几何问题,皆属于直观形象思维.
2. 经验形象
一定的“形”常对应一定的“式”.解代数题时,根据代数式的结构特征,联想与之对应的几何图形,把代数题转化到几何领域,通过研究图形的性质而解决代数问题. 这种由式而产生的图形,也就是经验形象,如行程、工程问题用线段图求解;方程问题用函数图象求解,都是经验形象的作用.
另外,代数公式、命题及命题推理论证等的整体形象也属经验形象.例如,用韦达定理构造一元二次方程.
3. 创新形象
创新形象就是对一个新的问题情景,在经验形象基础上想象出的一种新形象. 笛卡儿创立解析几何,进行的也就是创新形象思维.
4. 意会形象
意会形象一般不进入人类公认的知识体系,只存在于单个人的头脑中,它是个人对数学对象的一种整体把握. 我们在思考问题的时候,往往会有自己各自对数学语言的独特的理解和思维方式,这种时而清楚时而模糊的把握和联想,笔者认为就应该属于意会形象了.
形象思维在培养数学探究能力中的作用
列宁说:“人们常常需要经过一级抽象,二约抽象等等才能达到科学的认识.” 而数学恰恰具有再抽象的特点,即需要逐级抽象而形成一个逐次提高的抽象过程. 在这个漫长的过程中,人们要反复研究形象材料,利用形象思维提供的各种想象与联想,反复地进行抽象,而现实的具体素材和形象材料 是认识空间形式和量的关系的基础,是过渡到抽象的概念和命题不可缺少的初始环节,是抽象思维的首要阶段,正确地、巧妙地运用形象思维和抽象思维相结合的方法,可以充分发挥它们各自的优势,互相补充,相辅相成. 在数学认识活动中, 一方面按照逻辑思维的活动规律,不断进行分析、综合、归纳、演绎;另一方面又运用形象思维,进行多层次的思考,并对逻辑思维的结论进行取舍,一旦达到统一,就进入创造性思维集中活动阶段. 因此,运用两种思维相结合的方法,可以充分发掘思维潜能,从而获得最佳思维.
然而对于每个不同的学生来说,存在着倾于形象思维和倾于抽象思维两种不同的风格. 那么一个倾于形象思维的学生,在思考问题时,在思维上有些什么特点呢?
具有形象思维倾向的学生,能迅速地把可以信息化的抽象的式子、结论等与脑中的形象联系起来进行类比,然后把类比的结果抽象化,从而得出结论,但是这类学生往往无法表达出他们的思维过程. 有形象思维倾向的学生的特点是具有较多的形象储备. 因此在教学过程中,教师可以根据学生的不同情况尽可能地在课程设计中安排相关内容,逐步培养他们的形象思维能力,提高学生的解题能力.
1. 数学形象思维的训练价值
(1)有益于解题
“问题是数学的心脏”,教会学生解题是中学数学教学的首要任务. “解题者所做的脑力工作就在于回忆它的经验中用得上的东西”,并和它的解题思维联系起来,这是表象——联想——想象的形象思维过程. 形象思维能力较强的人,思考问题时各种形象经常浮现眼前,活跃在脑海里,这有助于搜集有用信息,激活解题思路,从而有效地解决问题.
(2)有益于发展创造性思维
数学形象美而有趣,它不仅有利于激发学生的创造性想象,而且会引导学生主动地实验、研究,从而发现问题,探索问题,解决问题,直至深化问题. 又由于数学创造性思维往往先通过形象、灵感、数学美感等抓住问题实质,迅速找出解决问题的突破口,再通过逻辑思维做出严格证明,所以对学生形象思维能力的训练将有益于学生创造性思维的发展.
(3)有益于开发右脑潜能
大脑生理学认为,人大脑的两个半球功能不同,左脑主管抽象思维,右脑主管形象思维;右脑的信息容量是左脑的100万倍. 而有关资料却证明,在数学上抽象思维是形象思维的几十倍. 可见,在数学学习上,右半脑远远没有得到开发,而其开发潜力又是巨大的. 加强形象思维训练就是开发右脑潜能的一个重要途径.
2. 几何领域中的形象思维应用几例
(1)图表的应用
(2)模型演示
如在教学中要求学生自制正方体,并备有表示平面的纸板和表示直线的竹签,学生利用自制模型演示空间的线面的位置关系,形象、直观,而且能使课堂气氛兴趣盎然.
(3)采用现代化教学手段
例如,在讲解线面垂直判定定理和性质定理时可制作课件,以正方体为模型,使之从不同方位转动,从而得到不同位置的垂面,使学生从中得到感性知识,且加深了对定理的各种情况的认识,从而培养了学生对该定理的运用能力.
3. 解题中形象思维的体现
我们在学习数学时,恰当地运用形象思维可使抽象难懂的知识很容易地被掌握,有时还能轻松地打开解题思路. 在数学教学过程中,我们的思维活动通常是形象思维和抽象的逻辑思维交错进行的过程. 但是形象思维的生动形象性、概括性、运动性、层次性等特征在数学中有着抽象逻辑思维不能比拟的作用.
比如,我们经常用到的数形结合思想,用此思想方法研究问题就是注意数与形的结合,或者把几何图形转化成相应的数量关系问题,运用代数、三角等知识去讨论;或者把数量关系转化成相应的图形性质问题,借助于几何知识加以解决. 这种数形结合的思想集中了数量分析与图形的直观,利用数和形的各自优势,往往能使我们尽快地找到解决途径或简化解题过程. 这种数形结合的思想方法往往是利用数学经验形象构图解题.
4. 加强模型教学,促进思维不断简缩,发展数学形象思维
教学中,把数学基本问题及其解法,几何中的概念及图形、定理及证明,代数中的公式及应用,代数式中反复出现的特殊结构等分别组块,作为模型训练成经验形象,复杂问题便可看成关于模型的简单问题,从而迅速架通已知向未知的桥梁,简缩思维过程. 建模就是由实际问题提炼出数学模型的过程. 每一种数学模型都是形象思维与抽象思维的完美结合. 建模体现了“数学教学是数学活动”的教学观,是发展学生数学形象思维、培养创造才能、促进数学发现的有效方法. 教学中应引起足够的重视.
形象思维致误分析
运用形象思维给我们的解题带来了许多方便,也将优美的解题过程形象地展现在我们面前. 而与此同时,由于不注意作图的准确性、合理性、全面性,也将会导致解题失误,甚至错误.
由此可见,形象思维在抽象的数学王国里无处不在,并且有着举足轻重的地位. 我们在进行教学设计时,应尽可能地考虑不同类型学生的特征,合理安排教学内容,将形象化思维渗透到日常教学中,发挥形象思维在培养探究能力中的作用,培养学生解题能力,优化学生的思维品质,并在学生的认知结构中有机地沟通数学各分支的内在联系. 同时应做到形象思维与抽象思维相互渗透,互为表里,互相补充,使它们有机地结合起来,就能不断提高学生的数学思维能力,发挥人脑的整体功能,达到教学目标.
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