数学强调理性思维,但理性思维不等于逻辑思维,逻辑思维具有明确的逻辑结构和固定模式,是数学创造的重要因素,但过分强调逻辑思维会导致“思想僵化”、“墨守成规”.相对于数学的逻辑思维,数学的非逻辑思维方法亦是重要的数学思维方法. 由于这种思维方法没有固定的逻辑模式的限制,具有一定的灵活性、突发性和创造性,常常成为提出数学新思想、创立新理论的重要工具,它是数学创造的另一个重要因素,在培养创新能力和应变能力方面具有重要作用,本文笔者就非逻辑思维中的形象思维和直觉思维进行探讨.
数学教学中的形象思维
形象思维是一种以客观形象为思维对象,以意象为主要思维工具,以指导创造物化形象的实践为主要目的的思维活动,它借助于具体的形象与理想的形象来展开思维,联想与想象是数学形象思维的两个主要方法.
1. 联想思维方法
广义上讲,联想是由一事物想到另一事物的思维活动,就是说将头脑中的意象联系在一起,由一种已知的意象唤起另一种意象,从而揭示出意象和内容的关系. 如,在对三角形有了全面的认识形成意象后,通过联想又会很然的想到四面体,并有一定的认识,于是促进并加速另一意象的产生.
例1 在平面几何里,由勾股定理:“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2”,拓展到空间,类比平面几何勾股定理,可以得到的正确结论是“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC,ACD,ABD两两互相垂直,则________”.
该题目考查的是平面到空间的类比联想. 解答这类题目不能只满足形式上的类似,还必须是真命题,结论的推导还是要从平面结论下手,利用类似平面结论推导的方法得出空间中的相关结论,如等面积法类比等体积,直线类比平面. 本题用到的则是平面中线段长度类比空间中侧面面积的类比联想思维方法. 结论为:S+S+S=S.
例2 已知椭圆+=1具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P为椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线-=1写出具有类似特性的性质,并加以证明.
联想思维方法是数学形象思维的基本方法,是各种形象思维方法的基础,没有联想思维就不可能有形象思维活动. 由于联想思维方法对事物关系的反映具有猜测性和随意性,因此需要把联想建立在雄厚的知识背景和宽阔的知识领域基础上,同时,要用其他思维方法对联想的结果进行修正、补充和检验,以保证联想的可靠性,使联想思维真正在数学教学中起到作用.
2. 想象思维方法
想象是在联想的基础上加工原有意象而创新意象的思维活动,是数学形象思维的重要方法之一. 数学思维中的想象,包括再生性想象和创造性想象.
再生性想象是根据数学语言、符号、数学表达式等形象的提示和加工改造而形成数学新形象的思维方法.学生在数学学习中的想象大多属于再生性想象,这种想象对学生来说有创造的成分,但归根结底还是建立在已有知识、经验和数学形象上的.
本题中,数学直觉的产生不是凭空而来的,它需要充分的酝酿,是长时间苦心思索后的产物,只要意识到已有的理论成果有更大的适用范围,那么对所研究的问题进行适当的调整,已有的理论成果完全可以系统地转到新的问题中去,这就是灵感的产生,是一个“顿悟”的过程.
可见,非逻辑思维在数学教学中有着逻辑思维不可替代的作用,探讨数学问题更离不开非逻辑思维,没有非逻辑思维,就不可能有数学猜想,就不可能在数学上有许多发现和创新. 当我们研究某个复杂的数学问题时,开始会遇到几种可能的思路,究竟选择哪种思路呢?此时,直观的想象就会起到重要作用,这就是数学的直觉能力. 当我们长期思考某个数学问题而不能获得解决时,非逻辑思维有时会帮我们打破僵局,另辟全新的思路,找到通向成功的道路,在这一点上,灵感的表现尤为突出. 作为教师,更要不断提高自己的非逻辑思维水平,发挥榜样的作用,才能更好地带着学生去探索新知.
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