闵嗣鹤，字彦群，１９１３年３月２５日生于北京，祖籍江西奉新。他的祖父闵少窗是清朝的进士，曾任大名府知府。父亲闵持正是北京公安局职员。祖父对他极其钟爱，亲自教他认字读书，学习古文，希望他长大后学文学。他从小就十分好学，在家自学了全部小学课程。１９２５年他考入北京师范大学附属中学，逐渐对数学产生了浓厚的兴趣与爱好。１９２９年夏，同时考取了北京大学和北京师范大学的理科预科，考虑到学费低离家近他选择了后者。他１９３１年升入本校数学系。在学习期间他就发表了４篇论文，并积极参加学术活动，曾负责编辑本校的《数学季刊》。１９３５年以优异成绩毕业。
由于家境困难，从１７岁开始，他就一直在中学兼课。大学毕业后由老师傅种孙教授介绍到北平师范大学附中任教。他一边教书一边发愤钻研数学，写出了优秀的数论论文《相合式解数之渐近公式及应用此理以讨论奇异级数》，获得了当时为纪念高君韦女士有奖征文第一名。清华大学杨武之教授发现了这位才华出众的青年，立即于１９３７年６月聘请他去清华大学算学系当助教。接聘书不到一个月，尚未开始工作，就爆发了芦沟桥事变。清华大学南迁，先至长沙，最后在昆明与北京大学、南开大学合并成立西南联合大学。闵嗣鹤在安葬了祖父母及父亲的灵柩后，偕母亲和三个妹妹离开了北平，随清华大学先至长沙后到昆明。在西南联合大学工作的８年，是他数学事业中的一个重要时期。他曾为陈省身教授讲的黎曼（Ｒｉｅｍａｎｎ）几何课任辅导教师，两人结下了深厚的友谊。他参加了华罗庚教授领导的数论讨论班，他自己及与华罗庚合作写出了多篇重要论文。华罗庚对他的工作给予很高的评价，在他们合作的一篇论文的底稿扉页上写下了“闵君之工作，占非常重要之地位”。从此，闵嗣鹤把数论作为自己主要的研究方向。
１９４５年他考取了公费留学，１０月到英国牛津大学，在著名数学家Ｅ．Ｃｈ．蒂奇马什（Ｔｉｔｃｈｍａｒｓｈ）指导下研究解析数论。由于他在黎曼Ｚｅｔａ函数的阶估计这一著名问题上得到了优异成果，１９４７年获得博士学位。随后他即赴美国普林斯顿高等研究院作研究工作，并参加了数学大师Ｈ．外尔（Ｗｅｙｌ）的讨论班。他在短短的一年中取得了丰富的研究成果，外尔真诚地挽留他继续在美工作，蒂奇马什也热情邀请他再去英国。但是，报效祖国、思念慈母的赤子之心促使他决定立即回国。１９４８年秋，他再次在清华大学数学系执教，任副教授，１９５０年晋升教授。１９５２年院系调整，任北京大学数学力学系教授。他曾任中国科学院数学研究所筹备处筹备委员，北京数学会理事等职。他的全部论著约６０余篇。
闵嗣鹤有很好的古典文学修养，喜爱书法与绘画，精通数门外语。他还是一位虔诚的基督教信徒。１９５０年他与朱敬一女士结婚，有两子三女。
对解析数论的贡献
闵嗣鹤对数学的许多分支都有研究。１９６０年以前，在主要从事数论研究之外，他的工作还涉及几何、调和分析、函数论及微分方程等。从１９６０年前后开始，他的主要研究方向转向广义解析函数、多重积分的近似计算及滤波分析。他对纯数学方面的主要贡献是在解析数论领域，特别是三角和估计理论及黎曼Ｚｅｔａ函数理论。诚如陈省身所说：“嗣鹤在解析数论的工作是中国数学的光荣。”
估计各种形式的三角和是解析数论最重要的研究课题。闵嗣鹤大学毕业后第一篇优秀的获奖论文《相合式解数之渐近公式及应用此理以讨论奇异级数》，就是证明了如下形式的完整三角和的均值估计：
其中ｐ为素数，ｅ（θ）＝ｅ２πｉθ，ｎ，ｓ是整数满足ｎ＞２，２≤ｓ≤２ｎ，以及ｆ（ｘ）＝ａｎｘｎ十…十ａ１ｘ是整系数多项式，满足最大公约数（ｐ，ａｎ，…，ａ１）＝１。应用这一估计他证明了：对任意整数ｍ及２＜ｓ≤２ｎ，ｓ元同余方程
ｆ（ｘ１）十…十ｆ（ｘｓ）≡ｍ（ｍｏｄｐ）
的解数 （ｆ（ｘ），ｓ）有渐近公式
（ｆ（ｘ），ｓ）＝ｐｓ－１十Ｏ（ｐｓ－１－（ｓ－２）／（ｎ－１））．这一结果优于由Ｌ．Ｊ．莫德尔（Ｍｏｒｄｅｌｌ）的著名估计
推出的渐近公式
（ｆ（ｘ），ｓ）＝ｐｓ－１十Ｏ（ｐｓ－１－（ｓ／ｎ－１））．
把上述莫德尔的著名估计推广到ｋ元整系数多项式ｆ（ｘ１，…，ｘｋ）的情形，是解析数论中具有重要理论与应用价值的课题。他先与华罗庚合作解决了ｋ＝２的情形，然后他独立解决了一般情形。
设ｓ是复变数。由级数定义的函数
除了在ｓ＝１有一个一级极点外，可以开拓为整个复平面ｓ上的解析函数。这就是通常所说的黎曼Ｚｅｔａ函数。对它的研究在解析数论中有至关重要的意义。对ζ（ｓ）有两个未解决的著名猜想：
（ｉ）对任意给定的正数ε，有
ζ（１／２十ｉｔ）《（１十｜ｔ｜）ε，－∞＜ｔ＜∞，通常称为Ｅ．Ｌ．林德勒夫（Ｌｉｎｄｅｌｏｆ）猜想；
（ｉｉ）ζ（ｓ）的无穷多个复零点全部位于直线１／２十ｉｔ（－∞＜ｔ＜∞）上，这就是黎曼猜想，是希尔伯特（Ｈｉｌｂｅｒｔ）第８问题的一部分，是数学中最著名的猜想之一。闵嗣鹤的许多研究工作就是紧紧联系着这两个著名猜想的。
１９４７年，闵嗣鹤通过对某种形式的二重外尔三角和
的估计方法的重要改进，证明了：对任给的正数ε有
ζ（１／２十ｉｔ）《（１十｜ｔ｜）１５／９２＋ε，－∞＜ｔ＜∞．这是他的博士论文的一部分，是一个杰出的成果。后来，他指导研究生迟宗陶、尹文霖，进一步利用他的方法，在这一问题及除数问题等方面得到了当时国际领先的成果。
设ｓ＝σ十ｉｔ，Ｎ（Ｔ）及Ｎ０（Ｔ）分别表示ζ（ｓ）在区域：０≤ｔ≤Ｔ，１／２≤σ≤１及直线：０≤ｔ≤Ｔ，σ＝１／２上的零点个数。黎曼猜想就是要证明：对任意的Ｔ≥０，Ｎ（Ｔ）＝Ｎ０（Ｔ）．１９４２年，Ａ．塞尔伯格（Ｓｅｌｂｅｒｇ）首先证明了：存在正常数Ａ使得Ｎ０（Ｔ）＞ＡＮ（Ｔ）．这样，具体定出尽可能好的常数Ａ就是一个十分重要的问题。１９５６年，闵嗣鹤首先证明了Ａ＞（６００００）－１．这一结果直到１９７４年才被Ｎ．莱温松（Ｌｅｖｉｎｓｏｎ）所改进。
在５０年代中、后期，他系统研究了黎曼Ｚｅｔａ函数的一种重要推广：设ｎ是正偶数，
他建立了这种函数的基本理论，其中部分工作是与其学生尹文霖合作完成的。
热情培育年青人不断开拓新方向
闵嗣鹤一生热心于数学教育事业，是一位优秀的教育家。
他在大学里讲授过数学分析、复变函数、初等数论等基础课，以及解析数论等专门化课程。无论是新课还是老课，他都认真准备。他讲的课深入浅出，十分生动，循循善诱，学生非常欢迎。大家知道，数学分析教学中最重要也是最困难的部分就是极限理论。１９５３年５月，刚刚院系调整后的北京大学数学力学系为了提高教学质量，组织了全系观摩教学，由闵嗣鹤主讲《有序变量与无穷小量》。闵嗣鹤利用自己制作的玻璃教具，直观地演示了ε与δ的依赖关系，讲得通俗易懂，异常精采。听过他课的学生３０多年后回忆说，听闵先生的课就像看电影，使我们对微积分中最难学懂的部分，理解得既快又清楚。当时的《数学通报》就刊登了讲稿的部分内容。这对北京大学数学力学系以至全国高校当时的数学教学起了很好的示范推动作用。１９５７年他与严士健合著的《初等数论》，至今仍是一本初等数论的好教材。他为解析数论研究生讲课的讲稿，经整理后成为《数论的方法》（上、下册）一书而出版。这是一本很有特色的解析数论入门教材，书中包括了闵嗣鹤的一些成果。闵嗣鹤另有一部《高等微积分》讲义，未出版。
|
